用DOE方法最優(yōu)化質量因子配置

（DOE系列之四－RSM方法）

資深六西格瑪質量咨詢專家  周暐

   經過篩選試驗的精簡和全因子試驗的描述，很多人會滿足已經取得的成績，但也有一些精益求精的人會提出這樣的問題：現有的最佳因子水平組合一定是所有因子設置中最理想的選擇嗎？如果不是，又應當如何找出最優(yōu)化的因子設置？

   確實，以往的DOE側重于分析哪些因子是重要的，到底有多重要以及它們之間是否會相互影響，卻沒有刻意去從整體中尋覓最佳的因子設置。為了解決這個問題，需要引入DOE中另一種新方法——響應曲面方法（ResponseSurface Methodology,即RSM），這也是我們本期DOE系列介紹的主題。在這里，筆者仍將借助目前業(yè)界公認的高端六西格瑪統計分析軟件JMP來為大家展現響應曲面方法的實現和應用，順便提及，JMP6是迄今業(yè)界唯一的中英文雙語版六西格瑪軟件，來自全球頂尖的統計學軟件集團SAS。

    在實際工作中，常常需要研究響應變量究竟如何依賴于自變量X的，進而能找到自變量的設置使得響應變量得到最佳值。當自變量的個數較少（通常不超過4個），則響應曲面方法是最值得推薦的方法，適合于要求響應變量望大（即越大越好）、望?。丛叫≡胶茫┖屯浚丛浇咏繕酥翟胶茫┑雀鞣N常見情形。

   通常來說，DOE的核心技術可分為試驗計劃和數據分析兩大類，響應曲面方法也不例外。在數據分析方面，它和以前介紹的方法沒有什么本質的不同，但在試驗計劃方面，則有顯著的改進。響應曲面方法的試驗計劃主要有中心復合設計和Box-Behnken設計兩種形式，具體用圖形說明如下。

圖一  三因子中心復合設計布點示意圖

   圖一是以三維空間立方體的形式展示了一個三個因子的中心復合設計的試驗計劃示意圖，在以下的敘述中給出的坐標都已將各因子代碼化。整個試驗由下面三部分試驗點構成。

    1. 立方體點（Cube Point），用藍色點表示。各點坐標皆為1或-1，這是全因子試驗相同的部分。

    2. 中心點 (CenterPoint)，用綠色點表示。各點的三維坐標皆為0。

    3. 軸點(AxialPoint)，用黃色點表示。除了一維自變量坐標為±?（旋轉性指數）外，其余維度的自變量坐標皆為0。在三個因子情況下，共有6個軸點。

   試驗計劃的另一種形式就是Box-Behnken設計。這種設計的特點是將因子各試驗點取在立方體每條邊的中點上。

圖二  三因子Box-Behnken設計布點示意圖

   圖二同樣以三維空間立方體的形式展示了一個三個因子的Box-Behnken設計的試驗計劃示意圖。整個試驗由下面兩部分試驗點構成。

    1. 邊中心點（Side CenterPoint），用白色點表示。除了一維自變量坐標為0外，其余維度的自變量坐標皆為±1。 在三個因子情況下，共12個邊中心點。

    2. 中心點 (CenterPoint)，用黑色點表示。各點的三維坐標皆為0。

   由以上兩個示意圖可以清晰地發(fā)現，響應曲面方法有規(guī)律、有目的地在試驗計劃中增添了有限次數的各因子的中心試驗點和拓展試驗點，這為研究曲率的變化趨勢、最優(yōu)區(qū)域的確定等提供了極大的便利。

   關于響應曲面方法在數據分析方面的特點，由于其和一般的因子設計DOE非常類似，此處就不做贅述。主要還是通過一個工業(yè)案例來一并介紹響應曲面方法的實際應用。

    場景 : 如何通過催化劑（Catalyst）和穩(wěn)定劑（Stabilizer）配置比例的具體設定，才能獲得某化學試劑的最低不純度（Impurities%）？

   顯然，此時的工程師已經不滿足于從僅有的四次全因子組合中選擇最優(yōu)的選項，而是希望在一個更廣闊的可行性空間里充分挖掘過程的潛能，尋覓到一個最理想或是最接近理想值的配置比例。當然，實現這一目的的同時還要兼顧試驗的經濟成本和時間次數等。

   這時候，將傳統的因子設計方法擱置一旁，適時地調用響應曲面方法，往往會起到最佳的效果。為了提高我們應用DOE的工作效率，本文將直接使用專業(yè)統計軟件JMP進行響應曲面方法分析，試圖獲得化學試劑的不純度最低時的配置比例。

   首先，我們根據實際情況，以中心復合設計為原則，迅速地確定了13次運行次數的試驗規(guī)模以及每次試驗時的因子具體設置。接著，根據既定的試驗計劃進行實施，并且及時收集每次試驗的響應值。將以上結果匯總之后，即可得到如圖三所示的JMP文件格式的數據表格。

圖三  中心復合設計的試驗結果匯總表

   然后，運用“模型擬合”的操作平臺，就可以得到具體詳盡的定量分析。遵循我們“強調通俗易懂，淡化統計原理”的一貫原則，我們不多在統計參數上花費筆墨，依然通過形象直觀的圖形來說明分析結果。在求出精確解之前,我們先觀察一下圖四所示的等高線圖（ContourPlot）和圖五所示的曲面圖（Surface Plot）。從兩個圖中都可以清楚地看到，在原試驗范圍內確實存在一個最小值。

圖四  等高線圖

圖五  曲面圖

   那么這個最小值究竟是多少？它又是在什么條件下產生的呢？進一步借助JMP自帶的模型預測刻畫器（PredictionProfiler），如圖六所示，我們可以輕輕松松地得到最優(yōu)化的配置比例：催化劑%=1.410568，穩(wěn)定劑%=3.282724，這時產生的最低不純凈度%=3.156636。順便提及，筆者嘗試了多種統計分析軟件，只發(fā)現JMP集成了模擬功能，實在難能可貴。
至此，我們匆匆走過了應用DOE優(yōu)化流程的探索之路。其實在DOE的優(yōu)化過程中，還有很多其他實用的知識和技巧，筆者將會在今后的文章中在做深入的介紹。

圖六  模型的預測刻畫器