顧此不失彼的DOE

（DOE系列之五）

資深六西格瑪咨詢專家  周暐

   本連載前四個(gè)系列已經(jīng)介紹了幾種不同背景、不同要求的情況下，應(yīng)用DOE的原理和技巧。但細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)之前的案例有一個(gè)共同的特點(diǎn)（或者稱為局限）：數(shù)據(jù)分析僅限于單個(gè)響應(yīng)變量。在實(shí)際工作中，常常會(huì)遇到要同時(shí)考慮多個(gè)響應(yīng)變量的情況，例如希望斷裂強(qiáng)度越大越好，同時(shí)希望厚度越小越好；希望質(zhì)量水平越高越好，但同時(shí)希望成本越低越好等等。這類問題與古人所說的有些相像：“魚與熊掌，能否兼得”？確實(shí)，如何同時(shí)考慮多項(xiàng)指標(biāo)是個(gè)很復(fù)雜的課題。今天我們的任務(wù)就是另辟蹊徑，設(shè)法解決處理多指標(biāo)問題，使DOE也可以顧此不失彼。DOE方法的實(shí)現(xiàn)離不開統(tǒng)計(jì)分析軟件的支持，高端六西格瑪統(tǒng)計(jì)分析軟件JMP是目前業(yè)界最先進(jìn)的六西格瑪工具，其在DOE方面的表現(xiàn)最為優(yōu)秀，本期案例我們?nèi)砸灾杏⑽碾p語(yǔ)版JMP軟件作為DOE方案實(shí)現(xiàn)的載體。

   其實(shí)，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是能否創(chuàng)建一個(gè)新指標(biāo)，用它來代表所有的舊指標(biāo)，然后通過優(yōu)化這個(gè)新指標(biāo)，就可以實(shí)現(xiàn)多指標(biāo)的平衡化最佳，也就是總體最佳了。這個(gè)新指標(biāo)用什么來表示呢？答案是首先將原先的響應(yīng)變量轉(zhuǎn)化為另一個(gè)變量：意愿(Desirability)d，它的建立可以將求任意響應(yīng)變量達(dá)到最優(yōu)的問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)取值范圍在0至1之間的單個(gè)意愿達(dá)到最大的問題。意愿的函數(shù)形式可分為三大類，同時(shí)根據(jù)實(shí)際情況，分別確定它們的容許范圍，即“下限”（Lower）和“上限”（Upper）。當(dāng)試驗(yàn)的指標(biāo)是越大越好，即“望大”型（Maximize）時(shí)，可以用圖一來描述此時(shí)意愿的規(guī)律；當(dāng)試驗(yàn)的指標(biāo)是越小越好，即“望小”型（Minimize）時(shí)，可以用圖二來描述此時(shí)意愿的規(guī)律；當(dāng)試驗(yàn)的指標(biāo)是越接近某值越好，即“望目”型（Target）時(shí)，可以用圖三來描述此時(shí)意愿的規(guī)律。這三種不同的函數(shù)形式反映了三種不同的指標(biāo)需求，它們的共同特征是d的取值越接近于1表示越結(jié)果越令人滿意，d的取值越接近于0則表示相反。

   此外，一個(gè)過程可能有很多響應(yīng)變量，而且這些響應(yīng)變量的重要程度對(duì)我們來說也可能不盡相同。權(quán)重（Weight）w就是用來表示不同響應(yīng)變量的重要程度的變量，它的默認(rèn)值為1，取值范圍一般從0.1到10，越小說明其越不重要，越大說明其重要性越強(qiáng)。

    在單個(gè)意愿d_i及其對(duì)應(yīng)的權(quán)重w_i的基礎(chǔ)上，就能夠合成一個(gè)綜合指標(biāo)：復(fù)合意愿 。它的一般定義公式為： ，如果這些單個(gè)意愿的權(quán)重全部相等，則上式可以簡(jiǎn)化為：。復(fù)合意愿D就是我們需要?jiǎng)?chuàng)建的一個(gè)新指標(biāo)，有了它，就可以來考慮k個(gè)響應(yīng)變量的同時(shí)優(yōu)化問題了。

圖一  “望大型”意愿示意圖

圖二  “望小型”意愿示意圖

圖三  “望目型”意愿示意圖

   在掌握了多變量響應(yīng)優(yōu)化的原理之后，再加上專業(yè)DOE軟件JMP的具體實(shí)施，相應(yīng)的問題就迎刃而解了。遵循理論聯(lián)系實(shí)際的風(fēng)格，本文繼續(xù)通過一個(gè)工業(yè)案例來介紹多指標(biāo)DOE的實(shí)際應(yīng)用。

    場(chǎng)景 :在半導(dǎo)體行業(yè)中，蝕刻率（Etch）和不均勻性（Ununiformity）都是非常重要的質(zhì)量指標(biāo)，它們的表現(xiàn)與生產(chǎn)過程中的間隙（Gap）和功率（Power）這兩個(gè)因素密切相關(guān)（具體信息參見圖四）。在以往的DOE研究中，曾分別獨(dú)立地對(duì)Etch和Ununiformity做過優(yōu)化，但產(chǎn)生的矛盾是各自所要求的Gap和Power之間的設(shè)置差距較大，怎樣才能兼顧兩種不同效應(yīng)的表現(xiàn)，找到最合適的輸入控制因素的設(shè)定呢？

圖四  某半導(dǎo)體生產(chǎn)流程的輸入輸出表

   顯然，此時(shí)的半導(dǎo)體技術(shù)人員已處于流程的優(yōu)化階段，但同時(shí)正面臨著一個(gè)“魚與熊掌，孰輕孰重”的兩難境地，寄希望于普通的DOE理論是于事無(wú)補(bǔ)的。而基于復(fù)合意愿理論的DOE方法就有了用武之地，使我們“魚與熊掌，一舉兼得”。

   首先，根據(jù)已掌握的信息，按照中心復(fù)合設(shè)計(jì)的原則，制定12次運(yùn)行次數(shù)的試驗(yàn)規(guī)模以及每次試驗(yàn)時(shí)的Gap和Power的具體設(shè)置。接著，根據(jù)既定的試驗(yàn)計(jì)劃進(jìn)行實(shí)施，并且同時(shí)收集每次試驗(yàn)時(shí)Etch和Ununiformity的響應(yīng)值。將以上結(jié)果匯總之后，即可得到如圖五所示的JMP文件格式的數(shù)據(jù)表格。

圖五  中心復(fù)合設(shè)計(jì)的試驗(yàn)結(jié)果匯總表

   然后，與以往一樣，運(yùn)用JMP軟件中的“模型擬合”的操作平臺(tái)，就可以得到生產(chǎn)過程的量化分析。我們從大量的分析報(bào)表中精選了兩個(gè)直觀形象的圖形（圖六和圖七）來具體說明分析結(jié)果。

   圖六為等高線圖，平面地二維坐標(biāo)表示輸入變量Gap和Power，而紅藍(lán)兩色的等高線分別表示輸出變量Etch和Ununiformity。紅色陰影區(qū)域是Etch的“不可行區(qū)域”，藍(lán)色陰影區(qū)域是Ununiformity的“不可行區(qū)域”，中間一帶的白色區(qū)域是可以同時(shí)滿足Etch和Ununiformity要求的“可行域”，它為我們指明了Gap和Power的合理設(shè)置范圍，也可以將它看作能使輸出結(jié)果最穩(wěn)健的取值區(qū)域。

圖六  等高線圖

   圖七為預(yù)測(cè)刻畫器，它是一個(gè)二維坐標(biāo)系矩陣。我們可以從中觀察到輸入變量與輸出變量之間的變化規(guī)律，各個(gè)輸出變量與其對(duì)應(yīng)的單個(gè)意愿之間的關(guān)系，以及各個(gè)輸入變量對(duì)復(fù)合意愿的影響。更可以精確地找到理想的因子設(shè)置：Gap=1.110417，Power=371.0027，它們將會(huì)形成復(fù)合意愿的最大值：D=0.571931，它所對(duì)應(yīng)的實(shí)際輸出因子的結(jié)果是：Etch=1124.607，Ununiformity=103.5209。與實(shí)際要求相比較，這樣的結(jié)果無(wú)疑是令人滿意的，既能“顧此”，亦能“不失彼”。

圖七  預(yù)測(cè)刻畫圖