別具特色的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計

（DOE系列之六）

資深六西格瑪咨詢專家  周暐

   之前的五個DOE系列已經(jīng)系統(tǒng)地介紹了很多經(jīng)典試驗設(shè)計的基本原理和使用技巧。但是，DOE是一個理論和實踐高度聯(lián)系的統(tǒng)計科學門類，在不到一百年的發(fā)展歷程中，企業(yè)界不斷地向?qū)W術(shù)界提出新的意見和建議，而學術(shù)界也積極響應(yīng)，推陳出新地向企業(yè)界提供了大量理論指導，逐步形成了更多專業(yè)化、精細化的DOE應(yīng)用分支。比如說，穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計（RobustParameterDesign）（也稱健壯設(shè)計、魯棒設(shè)計，簡稱參數(shù)設(shè)計）就是其中的典型代表，它是一種在研究工程實際問題中很有價值的統(tǒng)計方法。日本的田口玄一（GenichiTaguchi）博士在參數(shù)設(shè)計方法方面貢獻非常突出，他在設(shè)計中引進SN比（信噪比）的概念，并以此作為評價參數(shù)組合優(yōu)劣的一種測度，這是很有價值的，以至于很多文獻和軟件都把穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計方法稱為田口設(shè)計（TaguchiDesign）。

   穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計最主要的貢獻是通過選擇可控因子的水平組合來減少一個系統(tǒng)（或產(chǎn)品、過程）對噪聲變化的敏感性，從而達到減少此系統(tǒng)性能波動的目的。同樣，它的實現(xiàn)也離不開統(tǒng)計分析軟件的支持。高端六西格瑪統(tǒng)計分析軟件JMP是目前業(yè)界最先進的六西格瑪工具，其在DOE方面的表現(xiàn)最為優(yōu)秀，在本期案例中我們將繼續(xù)以中英文雙語版JMP軟件作為DOE方案實現(xiàn)的載體。

   通俗地說，穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計區(qū)別于其它DOE方法最顯著的特征是在關(guān)注響應(yīng)平均值改善的同時，更關(guān)注其標準差的改善。那么它是如何實現(xiàn)標準差的改善，也就是說，如何使響應(yīng)變量的變差減小呢？很自然的想法是，通過減小噪聲的變差來實現(xiàn)減小響應(yīng)變量的變差，噪聲因子的來源可能有很多類型，例如原材料參數(shù)的變化、環(huán)境的變化、載荷因子的變化、單元間的差異和耗損降級等等。通常噪聲因子是無處不在的，減小噪聲的變差往往需要付出較高的經(jīng)濟代價。穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計則是更好的一種策略選擇。這種策略是通過探索可控因子與噪聲因子間的相互作用，從而用改變可控因子的水平組合的辦法來減小響應(yīng)變量的變差。因為可控因子通常易于改變，所以穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計比直接減小噪聲變差更經(jīng)濟更方便。

   我們可以通過一個簡單直觀的例子來理解這一點。正如圖一所示，可控因子X本身受到噪聲的影響而有波動，且響應(yīng)變量Y與這個可控因子的關(guān)系是非線性的，則我們可以選擇斜率較小的平坦區(qū)域從而使響應(yīng)變量的變差減小。這樣減小變差的方法比直接減小可控因子的噪聲波動要便宜得多。一般地說，工程技術(shù)人員在系統(tǒng)設(shè)計（SystemDesign）選擇確定了系統(tǒng)的構(gòu)造之后，把選擇參數(shù)的最佳設(shè)置以求減少響應(yīng)變量變差的方法稱為參數(shù)設(shè)計（ParameterDesign）；再進一步把如何限定可控因子的噪聲波動的方法稱為容差設(shè)計(Tolerance Design) 。

圖一  穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計的原理示意圖

   目前，在穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計中公認較好的試驗與建模的方法是：用乘積表進行位置與散度建模。接下來，我們將會詳細說明。
首先觀察乘積表。過程的輸入變量（因子）有兩類：可控因子（Control Factor）和噪聲因子（NoiseFactor）。為了考查可控因子的不同水平搭配的效果,我們要在一張控制表(Control Array) 中安排這些可控因子,通常用全因子設(shè)計或部分因子設(shè)計來進行，此表也常被稱為“內(nèi)表（Inter Array）”。為了考查噪聲因子的效應(yīng),要對控制表中每個試驗條件安排一個噪聲表 ( NoiseArray)。這樣做就相當于控制表中的每個水平組合與噪聲表的所有組合相乘構(gòu)成一個乘積表(CrossArray)、內(nèi)外表(Inter-Outer Array)（也有稱直積表的）。乘積表的圖例可參見圖二。記n₁和n₂分別為控制表及噪聲表的試驗次數(shù),則乘積表的試驗次數(shù)為n=n₁×n₂。圖二中的n₁=9，n₂=8，表中帶“*”的地方表示一次試驗，總計要進行72次試驗。

圖二  穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計的乘積表

    接著再看位置與散度建模。位置和散度建模法 (Location and DispersionModeling)就是分別建立位置和散度的度量值關(guān)于可控因子主效應(yīng)的模型。對每個控制水平的組合，用噪聲重復(fù)試驗的樣本均值作為位置的度量，用樣本方差的對數(shù) 或樣本方差本身作為散度的度量。對這兩種度量，分別找出對它們有顯著影響的因子來。凡對位置度量有顯著影響者，稱為位置因子（LocationFactor）；凡對散度度量有顯著影響者，稱為散度因子（DispersionFactor）；是位置因子但又非散度因子者，稱為調(diào)節(jié)因子（Adjustment Factor）。這三者的關(guān)系可以參見圖三。

圖三  穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計的因子分類圖

   對于望目型問題，我們解決問題的程序是這樣的：先選擇散度因子的水平使散度最小化；再選擇調(diào)節(jié)因子的水平使位置達到目標值。對于望大或望小型問題，我們解決問題的兩步程序是這樣的：先選擇位置因子的水平使位置達到最大（?。辉龠x擇非位置因子的散度因子的水平使散度最小化。取什么指標來作為位置及散度的度量是最好的呢？前面所說的樣本均值及樣本方差是常見的選擇，但我們的響應(yīng)變量優(yōu)化的目標可能有望大、望小和望目三種形式，統(tǒng)一使用“信噪比”及“靈敏度”是田口提出的建議之一。粗略地說，對于望大、望小和望目三種形式，用不同的公式來定義信噪比后，我們的位置-散度建模法的優(yōu)化步驟的第一步,都可以歸結(jié)為信噪比極大化，第二步再根據(jù)不同的目標選不同的因子予以調(diào)節(jié),不一定都選“靈敏度”作指標。

    關(guān)于信噪比(Signal to Noise Ratio, SNRatio)具體的定義公式，有興趣的讀者可查閱相關(guān)書籍或統(tǒng)計軟件JMP的幫助文件說明。這里還是通過一個工業(yè)案例來介紹穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計的實際應(yīng)用。

   為了能夠“最經(jīng)濟地實現(xiàn)附著性的最大化”，我們不能刻意地對噪聲因子提出過高的要求，而是必須從所有可控因子的組合中找到一個最佳設(shè)置，但同時阻抗噪聲因子干擾的能力也要足夠的強。完成這樣的任務(wù)，用穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計的方法是再合適不過的了。

   首先，根據(jù)乘積表構(gòu)建出總共72次的試驗計劃開展試驗，完成試驗后將數(shù)據(jù)匯總，得到附著性的平均值和信噪比，如圖四所示。

圖四  穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計的試驗結(jié)果匯總表

   在此之后，通常的做法是判定位置因子、散度因子和調(diào)節(jié)因子，然后依次調(diào)整這些因子的水平以達到響應(yīng)最佳的效果。統(tǒng)計軟件JMP在完成傳統(tǒng)解決方案之外，提供了更簡便的解決方案，即構(gòu)建一個整合了平均值和信噪比的意愿函數(shù)（Desirability），通過預(yù)測器的自動優(yōu)化，迅速找到最合適的因子設(shè)置。在本例中，我們就可以從圖五中清楚地發(fā)現(xiàn)，當干擾的水平為2，壁厚的水平為2，深度的水平為3，粘度的水平為1時，附著性的平均值達到最大，最大值為22.825。同時，附著性的信噪比也達到最大，最大值為26.90753，意味著此時附著性的抗干擾能力也是最強的。

圖五  田口設(shè)計模型的刻畫器

   關(guān)于高級DOE的內(nèi)容還有很多，穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計/田口設(shè)計只是其中之一，我們會在今后的系列中陸續(xù)為大家介紹更精彩的DOE理論與應(yīng)用。